【輸入數值自動計算聯集】三項聯集/四項聯集/五項聯集計算(排容原理)

聯集/交集說明與計算

輸入數值計算聯集

為了幫大家快速計算,以下根據兩項、三項、四項、五項輸入數值計算出聯集,若想深入了解請再往下看。

什麼是聯集

若A與B是集合,則A與B的聯集|A∪B |是有所有A的元素和所有B的元素,而沒有其他元素的集合。
較常用在機率分析裡,像:如果A事件發生的機率為0.3,B事件發生的機率為0.2,那發生A事件或B事件的機率為何呢?
發生A事件或B事件則為|A∪B |。

什麼是交集

A和B的交集是含有所有既屬於A又屬於B的元素,而沒有其他元素的集合。
同樣以機率來說明,如果A事件發生的機率為0.3,B事件發生的機率為0.2,那發生A事件又發生B事件的機率為何呢?
發生A事件又發生B事件則為| A∩B |,計算則為A事件發生的機率乘上B事件發生的機率,也就是0.3*0.2=0.06。

兩項聯集計算說明

兩項聯集是相對簡單及普遍的,以下方圖示說明,發生A或是發生B也就等於「A加上B在扣除A和B重疊的部份。」

可以看到上方圖,如果A加上B的話,中間重疊的地方會多了一次,所以需要扣除。

|A∪B | = |A |+ |B |- | A∩B |

如果A事件發生的機率為0.3,B事件發生的機率為0.2,那發生A事件或B事件的機率為何呢?

|A∪B |=0.3+0.2-0.3*0.2=0.44

三項聯集計算說明

如果A事件發生的機率為0.3,B事件發生的機率為0.2,C事件發生的機率為0.1,那發生A事件或B事件或C事件的機率為何呢?
以下面圖示來說明,雖然相較於兩項聯集稍微複雜一點,但不難理解。

如上圖,若A加B加C會出現重疊兩次的地方,也涵蓋到三次重疊的地方。
首先需要先扣除兩次重疊的地方,|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|,扣除後會變成以下圖形。

會發現兩次的地方扣除後,剩餘一次,但重疊三次的地方也被扣光了,所以需要再加回去,而中間重疊A、B、C的部分即為|A∩B∩C|,合起來則為如下:

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

|A∪B∪C|=(0.3)+(0.2)+(0.1)-(0.3*0.2)-(0.3*0.1)-(0.2*0.1)+(0.3*0.2*0.1)=0.6-0.06-0.03-0.02+0.006=0.496

排容原理

依照兩項聯集、三項聯集的公式,有沒有發現可以找到個規律性。

|A∪B | = |A |+ |B |- | A∩B | (單個集合-雙個集合)
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| (單個集合-雙個集合+三個集合)
有沒有發現先是「正」,再來是「負」,接著是「正」的規律;集合的部分也是,先是「單個集合」,再來是「雙個集合」,接著是「三個集合」,沒錯,這就是排容原理。
那四個集合聯集呢?也就是單個集合-雙個集合+三個集合-四個集合。

排容原理寫成數學式為:

以前數學忘的差不多了嗎,沒關係,你只要記得正負正負就好。

四項聯集計算說明

四項聯集是立體的概念,A與B與C與D交會,有四項重疊的地方|A∩B∩C∩D|,但又有三項重疊但不與第四項重疊的地方|A∩B∩C|、|A∩B∩D|、|A∩C∩D|、|B∩C∩D|。
是不是覺得四項聯集不好以圖形來想像呢?那麼該怎麼計算四項聯集呢?
如果A事件發生的機率為0.4,B事件發生的機率為0.3,C事件發生的機率為0.2,D事件發生的機率為0.1,那發生A事件或B事件或C事件或D事件的機率為何呢?
也就是|A∪B ∪C ∪D |,會覺得數學式我也會寫,那怎麼展開呢?
就要用剛剛提到的排容公式來計算啦!

四項聯集也就是:單個集合-雙個集合+三個集合-四個集合

|A∪B ∪C ∪D | = |A |+ |B |+ |C |+|D | – | A∩B |-| A∩C |-| A∩D |-| B∩C |-| B∩D |-| C∩D |+ | A∩B∩C |+| A∩B∩D |+| A∩C∩D |+ | B∩C∩D | – | A ∩ B∩C∩D |

|A∪B ∪C ∪D |=(0.4)+(0.3)+(0.2)+(0.1)-(0.4*0.3)-(0.4*0.2)-(0.4*0.1)-(0.3*0.2)-(0.3*0.1)-(0.2*0.1)+(0.4*0.3*0.2)+(0.4*0.3*0.1)+(0.4*0.2*0.1)+(0.3*0.2*0.1)-(0.4*0.3*0.2*0.1)=1-0.12-0.08-0.04-0.06-0.03-0.02+0.024+0.012+0.008+0.006-0.0024=0.6976

五項聯集計算說明

遇到五項聯集怎麼計算呢?沒錯,排容原理,正負正負正。
如果A事件發生的機率為0.5,B事件發生的機率為0.4,C事件發生的機率為0.3,D事件發生的機率為0.2,E發生的機率為0.1,那發生A事件或B事件或C事件或D事件或E事件的機率為何呢?

|A∪B∪C∪D∪E|=|A|+|B|+|C|+|D|+|E|-|A∩B|-|A∩C|-|A∩D|-|A∩E|-|B∩C|-|B∩D|-|B∩E|-|C∩D|-|C∩E|-|D∩E|+|A∩B∩C|+|A∩B∩D|+|A∩B∩E|+|A∩C∩D|+|A∩C∩E|+|A∩D∩E|+|B∩C∩D|+|B∩C∩E|+|B∩D∩E|+|C∩D∩E|-|A∩B∩C∩D|-|A∩B∩C∩E| -|A∩B∩D∩E|-|A∩C∩D∩E|-|B∩C∩D∩E|+|A∩B∩C∩D∩E|

|A∪B∪C∪D∪E|=(0.5)+(0.4)+(0.3)+(0.2)+(0.1)-(0.5*0.4)-(0.5*0.3)-(0.5*0.2)-(0.5*0.1)-(0.4*0.3)-(0.4*0.2)-(0.4*0.1)-(0.3*0.2)-(0.3*0.1)-(0.2*0.1)+(0.5*0.4*0.3)+(0.5*0.4*0.2)+(0.5*0.4*0.1)+(0.5*0.3*0.2)+(0.5*0.3*0.1)+(0.5*0.2*0.1)+(0.4*0.3*0.2)+(0.4*0.3*0.1)+(0.4*0.2*0.1)+(0.3*0.2*0.1)-(0.5*0.4*0.3*0.2)-(0.5*0.4*0.3*0.1)-(0.5*0.4*0.2*0.1)-(0.5*0.3*0.2*0.1)-(0.4*0.3*0.2*0.1)+(0.5*0.4*0.3*0.2*0.1)=0.8488

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