兩不同半徑的圓重疊面積計算

兩個相同半徑的圓重疊面積計算可以參閱此篇。

那~兩不同半徑的圓重疊面積該如何計算呢?

其實也是相同的概念,差異只在於扇形面積的θ以及菱形面積的h,計算稍微複雜一點而已。

重疊面積計算教學

一個半徑為5cm的圓形與一個半徑為4cm的圓心相交,當兩個圓心距離8cm時,請問兩個圓所相交的重疊面積是多少呢?

同樣的,前面的計算方式與計算兩個相同半徑的圓重疊面積相同,為四個扇形面積相加再扣除菱形面積。

差異在「兩個相同半徑的圓是以四個相同扇形」做計算,而「兩個不同半徑的圓是兩個大的扇形加上兩個小的扇形」做計算。

最困難的地方來了,要怎麼計算出θ1、θ2以及h呢?
我們先將已知數值標上。

我們可以將大的三角形(5-4-8 cm)拆解成以下,並利用畢式定理(兩條直角邊長度分別是a和b,斜邊長度是c,則a^2+b^2=c^2,a=(c^2-b^2)^1/2。

所以,一邊三角形的底等於(5^2-h^2)^1/2,一邊三角形的底等於(4^2-h^2)^1/2,而我們又知道兩個圓心的距離為8,也就是(5^2-h^2)^1/2+(4^2-h^2)^1/2=8。

這邊可能會問,h是怎麼解出來的阿?
可以使用工程計算機或Excel求解,也可以點選以下WolframAplha網站求未知數。

WolframAplha求未知數 (點此進入頁面)


求得h之後,利用正弦定理求出θ1與θ2。

Sinθ1=(h/5)=(2.045/5),θ1=24.142°

Sinθ2=(h/4)=(2.045/4),θ2=30.747°

大的扇形面積(綠色扇形)=大圓半徑*大圓半徑*π*θ1/360=5*5*π*24.142/360=5.267 (cm^2)

小的扇形面積(藍色扇形)=小圓半徑*小圓半徑*π*θ2/360=4*4*π*30.747/360=4.293 (cm^2)

兩個大的扇形面積(綠色扇形)+兩個小的扇形面積(藍色扇形)=5.267*2+4.293*2=19.12 (cm^2)

菱形面積=兩對角線相乘積的一半=8*(2.045*2)/2=16.36 (cm^2)

重疊面積=兩個大的扇形面積(綠色扇形)+兩個小的扇形面積(藍色扇形)-菱形面積=19.12-16.36=2.76 (cm^2)

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